Gauß auf Java
Ein mathematischer Reisebericht

Das 65537-Eck

Ich werde hier nicht  sämtliche Wurzeln des 65537-Ecks mit LaTex aufbereitet auflisten, so wie es beim Fünfeck, Siebzehneck und 257-Eck gemacht wurde. Ja, ich gebe nicht einmal die vollständige unaufbereitete Ausgabe der Programme Hermes und Kompressor wieder. Beides findet sich aber auf den -Seiten, das eine als PDF von ca. 350 Seiten und das andere als Ascii-Text von ca. 23400 Zeilen. Hier folgen nur Ausschnitte aus den genannten Dateien sowie einige Erläuterungen dazu.

Beginnen wir mit den durch das Programm Hermes ausgegebenen Rohdaten im LaTeX-Format. Sie beginnen mit: 

% Running with arguments: 65537 -tex
\[p_{0,0} = -1,000000000000\]
\[p_{1,0} = \tfrac{p_{0,0} + \sqrt{p_{0,0}^2 - 4(16384p_{0,0})}}{2} = \frac{-1+\sqrt{65537}}{2}\]
\[p_{1,1} = \tfrac{p_{0,0} - \sqrt{p_{0,0}^2 - 4(16384p_{0,0})}}{2} = \frac{-1-\sqrt{65537}}{2}\]
\[p_{2,0} = \tfrac{p_{1,0} - \sqrt{p_{1,0}^2 - 4(4096p_{0,0})}}{2}\]
\[p_{2,2} = \tfrac{p_{1,0} + \sqrt{p_{1,0}^2 - 4(4096p_{0,0})}}{2}\]
\[p_{2,1} = \tfrac{p_{1,1} - \sqrt{p_{1,1}^2 - 4(4096p_{0,0})}}{2}\]
\[p_{2,3} = \tfrac{p_{1,1} + \sqrt{p_{1,1}^2 - 4(4096p_{0,0})}}{2}\]
\[p_{3,0} = \tfrac{p_{2,0} - \sqrt{p_{2,0}^2 - 4(992p_{2,0}+1024p_{2,2}+1040p_{1,1})}}{2}\]
\[p_{3,4} = \tfrac{p_{2,0} + \sqrt{p_{2,0}^2 - 4(992p_{2,0}+1024p_{2,2}+1040p_{1,1})}}{2}\]
\[p_{3,2} = \tfrac{p_{2,2} + \sqrt{p_{2,2}^2 - 4(1024p_{2,0}+992p_{2,2}+1040p_{1,1})}}{2}\]
\[p_{3,6} = \tfrac{p_{2,2} - \sqrt{p_{2,2}^2 - 4(1024p_{2,0}+992p_{2,2}+1040p_{1,1})}}{2}\]
\[p_{3,1} = \tfrac{p_{2,1} + \sqrt{p_{2,1}^2 - 4(1040p_{1,0}+992p_{2,1}+1024p_{2,3})}}{2}\]
\[p_{3,5} = \tfrac{p_{2,1} - \sqrt{p_{2,1}^2 - 4(1040p_{1,0}+992p_{2,1}+1024p_{2,3})}}{2}\]
\[p_{3,3} = \tfrac{p_{2,3} - \sqrt{p_{2,3}^2 - 4(1040p_{1,0}+1024p_{2,1}+992p_{2,3})}}{2}\]
\[p_{3,7} = \tfrac{p_{2,3} + \sqrt{p_{2,3}^2 - 4(1040p_{1,0}+1024p_{2,1}+992p_{2,3})}}{2}\]

{\footnotesize
\[p_{4,0} = \frac{1}{2}p_{3,0} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{3,0}^2 - 4(284p_{3,0}+256p_{3,4}+272p_{3,2} \\
&+256p_{3,6}+237p_{3,1}+269p_{3,5}+237p_{2,3})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{4,8} = \frac{1}{2}p_{3,0} - \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{3,0}^2 - 4(284p_{3,0}+256p_{3,4}+272p_{3,2} \\
&+256p_{3,6}+237p_{3,1}+269p_{3,5}+237p_{2,3})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{4,4} = \frac{1}{2}p_{3,4} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{3,4}^2 - 4(256p_{3,0}+284p_{3,4}+256p_{3,2} \\
&+272p_{3,6}+269p_{3,1}+237p_{3,5}+237p_{2,3})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{4,12} = \frac{1}{2}p_{3,4} - \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{3,4}^2 - 4(256p_{3,0}+284p_{3,4}+256p_{3,2} \\
&+272p_{3,6}+269p_{3,1}+237p_{3,5}+237p_{2,3})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{4,2} = \frac{1}{2}p_{3,2} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{3,2}^2 - 4(256p_{3,0}+272p_{3,4}+284p_{3,2} \\
&+256p_{3,6}+237p_{2,1}+237p_{3,3}+269p_{3,7})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{4,10} = \frac{1}{2}p_{3,2} - \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{3,2}^2 - 4(256p_{3,0}+272p_{3,4}+284p_{3,2} \\
&+256p_{3,6}+237p_{2,1}+237p_{3,3}+269p_{3,7})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{4,6} = \frac{1}{2}p_{3,6} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{3,6}^2 - 4(272p_{3,0}+256p_{3,4}+256p_{3,2} \\
&+284p_{3,6}+237p_{2,1}+269p_{3,3}+237p_{3,7})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{4,14} = \frac{1}{2}p_{3,6} - \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{3,6}^2 - 4(272p_{3,0}+256p_{3,4}+256p_{3,2} \\
&+284p_{3,6}+237p_{2,1}+269p_{3,3}+237p_{3,7})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{4,1} = \frac{1}{2}p_{3,1} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{3,1}^2 - 4(237p_{2,0}+237p_{3,2}+269p_{3,6} \\
&+284p_{3,1}+256p_{3,5}+272p_{3,3}+256p_{3,7})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{4,9} = \frac{1}{2}p_{3,1} - \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{3,1}^2 - 4(237p_{2,0}+237p_{3,2}+269p_{3,6} \\
&+284p_{3,1}+256p_{3,5}+272p_{3,3}+256p_{3,7})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{4,5} = \frac{1}{2}p_{3,5} - \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{3,5}^2 - 4(237p_{2,0}+269p_{3,2}+237p_{3,6} \\
&+256p_{3,1}+284p_{3,5}+256p_{3,3}+272p_{3,7})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{4,13} = \frac{1}{2}p_{3,5} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{3,5}^2 - 4(237p_{2,0}+269p_{3,2}+237p_{3,6} \\
&+256p_{3,1}+284p_{3,5}+256p_{3,3}+272p_{3,7})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{4,3} = \frac{1}{2}p_{3,3} - \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{3,3}^2 - 4(269p_{3,0}+237p_{3,4}+237p_{2,2} \\
&+256p_{3,1}+272p_{3,5}+284p_{3,3}+256p_{3,7})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{4,11} = \frac{1}{2}p_{3,3} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{3,3}^2 - 4(269p_{3,0}+237p_{3,4}+237p_{2,2} \\
&+256p_{3,1}+272p_{3,5}+284p_{3,3}+256p_{3,7})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{4,7} = \frac{1}{2}p_{3,7} - \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{3,7}^2 - 4(237p_{3,0}+269p_{3,4}+237p_{2,2} \\
&+272p_{3,1}+256p_{3,5}+256p_{3,3}+284p_{3,7})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{4,15} = \frac{1}{2}p_{3,7} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{3,7}^2 - 4(237p_{3,0}+269p_{3,4}+237p_{2,2} \\
&+272p_{3,1}+256p_{3,5}+256p_{3,3}+284p_{3,7})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{5,0} = \frac{1}{2}p_{4,0} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{4,0}^2 - 4(80p_{4,0}+68p_{4,8}+57p_{4,4}+65p_{4,12} \\
&+60p_{4,2}+64p_{4,10}+61p_{3,6}+62p_{4,1}+64p_{4,9}+60p_{4,5} \\
&+70p_{4,13}+64p_{4,3}+58p_{4,11}+60p_{4,7}+70p_{4,15})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{5,16} = \frac{1}{2}p_{4,0} - \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{4,0}^2 - 4(80p_{4,0}+68p_{4,8}+57p_{4,4}+65p_{4,12} \\
&+60p_{4,2}+64p_{4,10}+61p_{3,6}+62p_{4,1}+64p_{4,9}+60p_{4,5} \\
&+70p_{4,13}+64p_{4,3}+58p_{4,11}+60p_{4,7}+70p_{4,15})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{5,8} = \frac{1}{2}p_{4,8} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{4,8}^2 - 4(68p_{4,0}+80p_{4,8}+65p_{4,4}+57p_{4,12} \\
&+64p_{4,2}+60p_{4,10}+61p_{3,6}+64p_{4,1}+62p_{4,9}+70p_{4,5} \\
&+60p_{4,13}+58p_{4,3}+64p_{4,11}+70p_{4,7}+60p_{4,15})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{5,24} = \frac{1}{2}p_{4,8} - \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{4,8}^2 - 4(68p_{4,0}+80p_{4,8}+65p_{4,4}+57p_{4,12} \\
&+64p_{4,2}+60p_{4,10}+61p_{3,6}+64p_{4,1}+62p_{4,9}+70p_{4,5} \\
&+60p_{4,13}+58p_{4,3}+64p_{4,11}+70p_{4,7}+60p_{4,15})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{5,4} = \frac{1}{2}p_{4,4} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{4,4}^2 - 4(65p_{4,0}+57p_{4,8}+80p_{4,4}+68p_{4,12} \\
&+61p_{3,2}+60p_{4,6}+64p_{4,14}+70p_{4,1}+60p_{4,9}+62p_{4,5} \\
&+64p_{4,13}+70p_{4,3}+60p_{4,11}+64p_{4,7}+58p_{4,15})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{5,20} = \frac{1}{2}p_{4,4} - \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{4,4}^2 - 4(65p_{4,0}+57p_{4,8}+80p_{4,4}+68p_{4,12} \\
&+61p_{3,2}+60p_{4,6}+64p_{4,14}+70p_{4,1}+60p_{4,9}+62p_{4,5} \\
&+64p_{4,13}+70p_{4,3}+60p_{4,11}+64p_{4,7}+58p_{4,15})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{5,12} = \frac{1}{2}p_{4,12} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{4,12}^2 - 4(57p_{4,0}+65p_{4,8}+68p_{4,4}+80p_{4,12} \\
&+61p_{3,2}+64p_{4,6}+60p_{4,14}+60p_{4,1}+70p_{4,9}+64p_{4,5} \\
&+62p_{4,13}+60p_{4,3}+70p_{4,11}+58p_{4,7}+64p_{4,15})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{5,28} = \frac{1}{2}p_{4,12} - \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{4,12}^2 - 4(57p_{4,0}+65p_{4,8}+68p_{4,4}+80p_{4,12} \\
&+61p_{3,2}+64p_{4,6}+60p_{4,14}+60p_{4,1}+70p_{4,9}+64p_{4,5} \\
&+62p_{4,13}+60p_{4,3}+70p_{4,11}+58p_{4,7}+64p_{4,15})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{5,2} = \frac{1}{2}p_{4,2} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{4,2}^2 - 4(61p_{3,0}+60p_{4,4}+64p_{4,12}+80p_{4,2} \\
&+68p_{4,10}+57p_{4,6}+65p_{4,14}+70p_{4,1}+60p_{4,9} \\
&+64p_{4,5}+58p_{4,13}+62p_{4,3}+64p_{4,11}+60p_{4,7} \\
&+70p_{4,15})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
{\footnotesize
\[p_{5,18} = \frac{1}{2}p_{4,2} - \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{4,2}^2 - 4(61p_{3,0}+60p_{4,4}+64p_{4,12}+80p_{4,2} \\
&+68p_{4,10}+57p_{4,6}+65p_{4,14}+70p_{4,1}+60p_{4,9} \\
&+64p_{4,5}+58p_{4,13}+62p_{4,3}+64p_{4,11}+60p_{4,7} \\
&+70p_{4,15})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize

und sie enden mit: 

\[p_{13,0} = \tfrac{p_{12,0} + \sqrt{p_{12,0}^2 - 4(p_{12,1}+p_{12,1265}+p_{12,4003}+p_{12,1899})}}{2}\]
\centerline{\footnotesize 5 unreferenced roots were skipped}
{\footnotesize
\[p_{13,3072} = \frac{1}{2}p_{12,3072} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{12,3072}^2 - 4(p_{12,3073}+p_{12,241}+p_{12,2979}+p_{12,875})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
\centerline{\footnotesize 1203 unreferenced roots were skipped}
{\footnotesize
\[p_{13,2980} = \frac{1}{2}p_{12,2980} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{12,2980}^2 - 4(p_{12,2981}+p_{12,149}+p_{12,2887}+p_{12,783})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
\centerline{\footnotesize 4 unreferenced roots were skipped}
{\footnotesize
\[p_{13,8100} = \frac{1}{2}p_{12,4004} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{12,4004}^2 - 4(p_{12,4005}+p_{12,1173}+p_{12,3911}+p_{12,1807})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
\centerline{\footnotesize 643 unreferenced roots were skipped}
{\footnotesize
\[p_{13,6236} = \frac{1}{2}p_{12,2140} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{12,2140}^2 - 4(p_{12,3405}+p_{12,2141}+p_{12,4039}+p_{12,2047})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
\centerline{\footnotesize 2 unreferenced roots were skipped}
{\footnotesize
\[p_{13,3164} = \frac{1}{2}p_{12,3164} + \frac{1}{2}\sqrt{
\begin{aligned}
& p_{12,3164}^2 - 4(p_{12,333}+p_{12,3165}+p_{12,967}+p_{12,3071})
\end{aligned}
}\]
}%footnotesize
\centerline{\footnotesize 39 unreferenced roots were skipped}
\[p_{14,0} = \tfrac{p_{13,0} + \sqrt{p_{13,0}^2 - 4(p_{13,8100}+p_{13,3164})}}{2}\]
\centerline{\footnotesize 11 unreferenced roots were skipped}
\[p_{14,3072} = \tfrac{p_{13,3072} + \sqrt{p_{13,3072}^2 - 4(p_{13,2980}+p_{13,6236})}}{2}\]
\centerline{\footnotesize 5 unreferenced roots were skipped}
\[p_{15,0} = \tfrac{p_{14,0} - \sqrt{p_{14,0}^2 - 4(p_{14,3072})}}{2}\]
\begin{verbatim}
% 1/2 * p_{15,0} = NaN
% cos(2*pi/65537): 0.9999999954042476
% Taking reference values!
\end{verbatim}
\centerline{\footnotesize 1 unreferenced roots were skipped}
\[p_{15,0} = \tfrac{p_{14,0} + \sqrt{p_{14,0}^2 - 4(p_{14,3072})}}{2}\]
\begin{verbatim}
% 1/2 * p_{15,0} = 0.9999999954039087
% Time used: 33.214807469sec
Used: 2105; Skipped: 8009; Roots: 1365686447
\end{verbatim}

Der LaTeX-Output des Programms Hermes wurde mit dem Programm Kompressor verdichtet und umbrochen. Die Verdichtung besteht darin, nur die Wurzelausdrücke auszugeben, die in einem höheren Level benötigt werden. Wurzelausdrücke, die nicht benötigt werden, sind mit skipped... gekennzeichnet.

Man beachte, dass ab dem Level 13 allerdings schon durch das Programm Hermes selbst nicht mehr alle  Wurzeln berechnet werden. Level 13 wird nur bis $p_{13,3164}$ berechnet (statt $p_{13,8191}$) und Level 14 nur bis $p_{14,3072}$ (statt $p_{14,16382}$). Im Level 15 wird gleich auf Basis von $p_{15,0}$ der Wert für $\cos(2\pi/65537)$ ausgerechnet, so dass die 32766 weiteren Ausdrücke des Level 15 ebenfalls nicht mehr berechnet werden. Die Grenzen wurden bei den ersten Durchläufen des Programms experimentell ermittelt. In den folgenden Durchläufen wurden diese Schnitte eingebaut, um Laufzeit einzusparen. Das Programm Kompressor prüft, ob benötigte Wurzelausdrücke fehlen, und würde eine entsprechende Meldung ausgeben, was aber offenbar nicht der Fall ist.

Übrig geblieben sind rund 2100 Wurzelausdrücke. Das stimmt in etwa mit der Anzahl der in [Brakke 2011] veröffentlichten Wurzelausdrücke (rund 2000) überein. Warum die Werte nicht völlig übereinstimmen, wird im Literaturverzeichnis unter dem o.g. Link erläutert.

Der Umbruch erfolgt durch Kompressor in der Weise, dass in zu langen Zeilen der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen mit Hilfe der LaTeX-Anweisung aligned auf mehrere Zeilen aufgeteilt wird. Außerdem wurde bei den langen Ausdrücken ein kleinerer Font (\footnotesize) gewählt.

Die Ausgabe des Programms Kompressor wurde mit LaTeX aufbereitet. Manuelle Eingriffe in die Ausgaben der Programme beschränken sich auf die Vereinfachung von $p_{1,0}$ und $p_{1,1}$ und die Aufbereitung der Ausgaben zu Argumenten und CPU-Zeit. Trotzdem kann es natürlich bei dem Umfang der Daten passieren, dass Fehler unentdeckt geblieben sind. Sollte jemand einen solchen entdecken, wäre ich für eine entsprechende Mitteilung sehr dankbar.

Und hier nun ein nochmals verkürzter Ausschnitt der o.g. Rohdaten in aufbereiteter Form. Da MathJax nur innerhalb von Mathe-Umgebungen rendert, mussten hier die \footnotesize-Anweisungen ausgeblendet werden.

\[p_{0,0} = -1,000000000000\] \[p_{1,0} = \tfrac{p_{0,0} + \sqrt{p_{0,0}^2 - 4(16384p_{0,0})}}{2} = \frac{-1+\sqrt{65537}}{2}\] \[p_{1,1} = \tfrac{p_{0,0} - \sqrt{p_{0,0}^2 - 4(16384p_{0,0})}}{2} = \frac{-1-\sqrt{65537}}{2}\] \[p_{2,0} = \tfrac{p_{1,0} - \sqrt{p_{1,0}^2 - 4(4096p_{0,0})}}{2}\] \[p_{2,2} = \tfrac{p_{1,0} + \sqrt{p_{1,0}^2 - 4(4096p_{0,0})}}{2}\] \[p_{2,1} = \tfrac{p_{1,1} - \sqrt{p_{1,1}^2 - 4(4096p_{0,0})}}{2}\] \[p_{2,3} = \tfrac{p_{1,1} + \sqrt{p_{1,1}^2 - 4(4096p_{0,0})}}{2}\] \[p_{3,0} = \tfrac{p_{2,0} - \sqrt{p_{2,0}^2 - 4(992p_{2,0}+1024p_{2,2}+1040p_{1,1})}}{2}\] \[p_{3,4} = \tfrac{p_{2,0} + \sqrt{p_{2,0}^2 - 4(992p_{2,0}+1024p_{2,2}+1040p_{1,1})}}{2}\] \[p_{3,2} = \tfrac{p_{2,2} + \sqrt{p_{2,2}^2 - 4(1024p_{2,0}+992p_{2,2}+1040p_{1,1})}}{2}\] \[p_{3,6} = \tfrac{p_{2,2} - \sqrt{p_{2,2}^2 - 4(1024p_{2,0}+992p_{2,2}+1040p_{1,1})}}{2}\] \[p_{3,1} = \tfrac{p_{2,1} + \sqrt{p_{2,1}^2 - 4(1040p_{1,0}+992p_{2,1}+1024p_{2,3})}}{2}\] \[p_{3,5} = \tfrac{p_{2,1} - \sqrt{p_{2,1}^2 - 4(1040p_{1,0}+992p_{2,1}+1024p_{2,3})}}{2}\] \[p_{3,3} = \tfrac{p_{2,3} - \sqrt{p_{2,3}^2 - 4(1040p_{1,0}+1024p_{2,1}+992p_{2,3})}}{2}\] \[p_{3,7} = \tfrac{p_{2,3} + \sqrt{p_{2,3}^2 - 4(1040p_{1,0}+1024p_{2,1}+992p_{2,3})}}{2}\] \[p_{4,0} = \frac{1}{2}p_{3,0} + \frac{1}{2}\sqrt{ \begin{aligned} & p_{3,0}^2 - 4(284p_{3,0}+256p_{3,4}+272p_{3,2} \\ &+256p_{3,6}+237p_{3,1}+269p_{3,5}+237p_{2,3}) \end{aligned} }\] \[p_{4,8} = \frac{1}{2}p_{3,0} - \frac{1}{2}\sqrt{ \begin{aligned} & p_{3,0}^2 - 4(284p_{3,0}+256p_{3,4}+272p_{3,2} \\ &+256p_{3,6}+237p_{3,1}+269p_{3,5}+237p_{2,3}) \end{aligned} }\] \[p_{4,4} = \frac{1}{2}p_{3,4} + \frac{1}{2}\sqrt{ \begin{aligned} & p_{3,4}^2 - 4(256p_{3,0}+284p_{3,4}+256p_{3,2} \\ &+272p_{3,6}+269p_{3,1}+237p_{3,5}+237p_{2,3}) \end{aligned} }\] \[p_{4,12} = \frac{1}{2}p_{3,4} - \frac{1}{2}\sqrt{ \begin{aligned} & p_{3,4}^2 - 4(256p_{3,0}+284p_{3,4}+256p_{3,2} \\ &+272p_{3,6}+269p_{3,1}+237p_{3,5}+237p_{2,3}) \end{aligned} }\]

Am Ende der Ausgabe findet man die folgenden Wurzeln:

\[p_{13,2980} = \frac{1}{2}p_{12,2980} + \frac{1}{2}\sqrt{ \begin{aligned} & p_{12,2980}^2 - 4(p_{12,2981}+p_{12,149}+p_{12,2887}+p_{12,783}) \end{aligned} }\] 
 4 unreferenced roots were skipped
\[p_{13,8100} = \frac{1}{2}p_{12,4004} + \frac{1}{2}\sqrt{ \begin{aligned} & p_{12,4004}^2 - 4(p_{12,4005}+p_{12,1173}+p_{12,3911}+p_{12,1807}) \end{aligned} }\] 
 643 unreferenced roots were skipped
\[p_{13,6236} = \frac{1}{2}p_{12,2140} + \frac{1}{2}\sqrt{ \begin{aligned} & p_{12,2140}^2 - 4(p_{12,3405}+p_{12,2141}+p_{12,4039}+p_{12,2047}) \end{aligned} }\] 
 2 unreferenced roots were skipped
\[p_{13,3164} = \frac{1}{2}p_{12,3164} + \frac{1}{2}\sqrt{ \begin{aligned} & p_{12,3164}^2 - 4(p_{12,333}+p_{12,3165}+p_{12,967}+p_{12,3071}) \end{aligned} }\] 
 39 unreferenced roots were skipped
\[p_{14,0} = \tfrac{p_{13,0} + \sqrt{p_{13,0}^2 - 4(p_{13,8100}+p_{13,3164})}}{2}\] 
 11 unreferenced roots were skipped
\[p_{14,3072} = \tfrac{p_{13,3072} + \sqrt{p_{13,3072}^2 - 4(p_{13,2980}+p_{13,6236})}}{2}\] 
 5 unreferenced roots were skipped
\[p_{15,0} = \tfrac{p_{14,0} - \sqrt{p_{14,0}^2 - 4(p_{14,3072})}}{2}\] 
% 1/2 * p_{15,0} = NaN
% cos(2*pi/65537): 0.9999999954042476
% Taking reference values!
1 unreferenced roots were skipped
\[p_{15,0} = \tfrac{p_{14,0} + \sqrt{p_{14,0}^2 - 4(p_{14,3072})}}{2}\] 
	% 1/2 * p_{15,0} = 0.9999999954039087
% Time used: 33.214807469sec
Used: 2105; Skipped: 8009; Roots: 1365686447

Probleme bei der Berechnung

Das Auftreten des Werts NaN für $p_{15,0}$ bedarf einiger Erläuterungen. Dazu betrachte man die (unaufbereitete) Ausgabe des Programms Hermes beim Aufruf mit den Optionen -tex -ref. Sie beginnt: 

% Running with arguments: 65537 -tex -ref
\[p_{0,0} = -1,000000000000\]
p_{0,0} = -1,000000000000
 Ref = -1,000000000002 Diff: 1,977529E-12
\[p_{1,0} = \tfrac{p_{0,0} + \sqrt{p_{0,0}^2 - 4(16384p_{0,0})}}{2}\]
p_{1,0} = 127,500976558775
 Ref = 127,500976558774 Diff: 1,094236E-12
\[p_{1,1} = \tfrac{p_{0,0} - \sqrt{p_{0,0}^2 - 4(16384p_{0,0})}}{2}\]
p_{1,1} = -128,500976558775
 Ref = -128,500976558776 Diff: 8,242296E-13
\[p_{2,0} = \tfrac{p_{1,0} - \sqrt{p_{1,0}^2 - 4(4096p_{0,0})}}{2}\]
p_{2,0} = -26,582920578356
 Ref = -26,582920578357 Diff: 8,846257E-13
\[p_{2,2} = \tfrac{p_{1,0} + \sqrt{p_{1,0}^2 - 4(4096p_{0,0})}}{2}\]
p_{2,2} = 154,083897137131
 Ref = 154,083897137130 Diff: 7,673862E-13
\[p_{2,1} = \tfrac{p_{1,1} - \sqrt{p_{1,1}^2 - 4(4096p_{0,0})}}{2}\]
p_{2,1} = -154,937451202068
 Ref = -154,937451202068 Diff: 1,421085E-13
\[p_{2,3} = \tfrac{p_{1,1} + \sqrt{p_{1,1}^2 - 4(4096p_{0,0})}}{2}\]
p_{2,3} = 26,436474643293
 Ref = 26,436474643293 Diff: 8,917311E-13

und endet mit: 

\[p_{14,0} = \tfrac{p_{13,0} + \sqrt{p_{13,0}^2 - 4(p_{13,8100}+p_{13,3164})}}{2}\]
p_{14,0} = 3,999291821205
 Ref = 3,999397646582 Diff: 1,058254E-04
\[p_{14,8192} = \tfrac{p_{13,0} - \sqrt{p_{13,0}^2 - 4(p_{13,8100}+p_{13,3164})}}{2}\]
p_{14,8192} = 3,847868109895

....

p_{14,3072} = 3,998797152204
 Ref = 3,998795293170 Diff: 1,859034E-06
\[p_{14,11264} = \tfrac{p_{13,3072} - \sqrt{p_{13,3072}^2 - 4(p_{13,2980}+p_{13,6236})}}{2}\]
p_{14,11264} = 3,695520656103
 Ref = 3,695522954334 Diff: 2,298230E-06
\[p_{14,7168} = \tfrac{p_{13,7168} - \sqrt{p_{13,7168}^2 - 4(p_{13,7076}+p_{13,2140})}}{2}\]
p_{14,7168} = 0,000095869075
 Ref = 0,000095870532 Diff: 1,456434E-09
\[p_{14,15360} = \tfrac{p_{13,7168} + \sqrt{p_{13,7168}^2 - 4(p_{13,7076}+p_{13,2140})}}{2}\]
p_{14,15360} = 3,980739581638
 Ref = 3,980739201293 Diff: 3,803448E-07
\[p_{14,512} = \tfrac{p_{13,512} - \sqrt{p_{13,512}^2 - 4(p_{13,420}+p_{13,3676})}}{2}\]
p_{14,512} = -0,859198008421
 Ref = -0,858636561910 Diff: 5,614465E-04
\[p_{14,8704} = \tfrac{p_{13,512} + \sqrt{p_{13,512}^2 - 4(p_{13,420}+p_{13,3676})}}{2}\]
p_{14,8704} = -0,801971489347
 Ref = -0,802476068394 Diff: 5,045790E-04
\[p_{15,0} = \tfrac{p_{14,0} - \sqrt{p_{14,0}^2 - 4(p_{14,3072})}}{2}\]
p_{15,0} = NaN
 Ref = 1,999999990808 Diff: NAN
\[p_{15,16384} = \tfrac{p_{14,0} + \sqrt{p_{14,0}^2 - 4(p_{14,3072})}}{2}\]
p_{15,16384} = NaN
 Ref = 1,999397655774 Diff: NAN
% 1/2 * p_{15,0} = NaN
% cos(2*pi/65537): 0.9999999954042476
% Taking reference values!
\[p_{15,0} = \tfrac{p_{14,0} + \sqrt{p_{14,0}^2 - 4(p_{14,3072})}}{2}\]
p_{15,0} = 1,999999990808
 Ref = 1,999999990808 Diff: 6,776801E-13
% 1/2 * p_{15,0} = 0.9999999954039087
% Time used: 33.214807469sec

Rechenzeit und Speicherbedarf machen keine Probleme, wohl aber Rundungsfehler. Man sieht, dass die Abweichung Diff des Wurzelausdrucks vom Referenzwert (Ref =), der mit Hilfe des $cos$ berechnet wurde, am Anfang in der Größenordnung $10^{-13}$ liegt, gegen Ende der Berechnungen schon $10^{-4}$ erreicht. Das führt dazu, dass ausgerechnet der Wert der letzten beiden Perioden, der eigentlich das Doppelte von $\cos(2\pi/65537)$ betragen sollte, eine Wurzel aus einer negativen Zahl enthält, also NaN ergibt. Wenn man nämlich den Wert von $p_{14,0}^2 - 4p_{14,3072}$ aus den Werten für die Wurzelausdrücke berechnet, erhält man: \[p_{14,0}^2 - 4p_{14,3072} = 3,999291821205^2 - 4\cdot 3,998797152204 = -0,000831017002794312347975\] setzt man stattdessen die über den Cosinus ermittelten Referenzwerte ein, hat man: \[p_{14,0}^2 - 4p_{14,3072} = 3,999397646582^2 - 4\cdot 3,998795293170 = 0,000000362805640176282724\] Wenn man sich den gesamten mit der -ref-Option erzeugten Output ansieht, stellt man aber fest, dass die kumulierten Rundungsfehler nie die Größe von $10^{-4}$ überschreiten, so dass man hoffen kann, dass die Wurzelausdrücke selbst korrekt sind. Für $p_{15,0}$ berechnen wir daher den Wert mit der Funktion refactor (siehe Programmlisting) auf Basis der Referenzwerte für $p_{14,0}$ und $p_{14,3072}$ neu und kommen so auf ein Ergebnis, das erst in der 12. Dezimale abweicht. Natürlich hätte man auch eine sanftere Art des Fehlerausgleichs einbauen können, etwa indem man auf den Referenzwert zurückgeht, sobald die Abweichung zum Wurzelwert mehr als $10^{-8}$ beträgt. Mir erschien es jedoch ehrlicher, das Programm so lange wie möglich unbeeinflusst laufen zu lassen.

Es sei noch auf die vom Programm Kompressor berechnete Gesamtanzahl der Quadratwurzeln am Ende der Ausgabe hingewiesen: Roots: 1365686447. Diese Anzahl ergibt sich, wenn man wirklich sämtliche $p_{m,n}$ sukzessive durch die für sie berechneten Ausdrücke ersetzt, wenn man also für $\cos(2\pi/65537)$ einen geschlossenen  Wurzelausdruck angeben will, wie wir es beim Siebzehneck gemacht haben. Es sind dies über 1.3 Milliarden Quadratwurzeln. Man kann zwar wie beim 257-Eck erwarten, dass durch mehr Aufwand bei der Routine simplify (siehe Programmlisting) die Anzahl reduziert werden könnte, doch wage ich die Prognose, dass wohl niemand je den Wurzelausdruck für das 65537-Eck in geschlossener Form zu Gesicht bekommen wird. Tatsächlich existiert aber so ein geschlossener Ausdruck, dank der Arbeit der Australischen Mathematikerin Joan Taylor (Details findet man hier). Allerdings muss man sich wohl Joan Taylors Meinung anschließen, die selbst dazu schreibt: [...] an expression of about 2000 pages is difficult to regard as able to be seen !.

Für alle, die den diskreten Hinweis auf die vollständige  Auflistung der Wurzelausdrücke für das 65537-Eck am Anfang dieser Seite überlesen haben, hier nochmals die Links: